Печать царя Соломона

Сколько равносторонних треугольников изображено на знаменитой печати царя Соломона, изображенной на его гробнице.

Ответ: 31 треугольник.

Дрова

Определить, какие дрова - тонкие или толстые - выгоднее покупать (в кубометрах), если:
1. Все поленья имеют цилиндрическую форму.
2. Все толстые (а также тонкие) поленья одинаковой толщины.
3. Поленья укладываются так, что в каждом ряду их имеется по одинаковому числу.
4. Толстые поленья дают при всех прочих условиях больше тепла, чем тонкие.

Ответ: Объем дров, наполняющих куб. метр, есть в условиях этой задачи величина, не зависящая от толщины дров. (Доказательство здесь не приводим). То есть выгоднее покупать толстые дрова, так как они дают больше тепла.

Задача с узелками

Положите на стол кусок веревки или тесьмы. А теперь возьмитесь руками за концы веревки и завяжите узел, не отпуская их. Можно ли это сделать?

Ответ: Решить задачу можно, если сначала скрестить руки (завязать из своих рук узел), потом взяться за концы веревки и расплести руки - перенести узел с рук на веревку.

Разрез куба

Вы помните загадку про куб, который был разрезан шестью плоскостями на 27 маленьких кубиков? Теперь вообразите, что после каждого разреза Вам разрешено перемещать части в пространстве: отрезав какую-либо часть, Вы можете наложить ее на другие так, чтобы следующая разрезающая плоскость пересекала их все. Не сможете ли Вы, пользуясь этой дополнительной возможностью, уменьшить число разрезающих плоскостей, рассекающих куб на 27 маленьких кубиков?

Ответ: Указанная дополнительная возможность не облегчает задачу: все равно требуется шесть разрезающих плоскостей. В самом деле, внутренний кубик из числа тех 27, на которые надо разрезать большой куб, имеет шесть граней, и никакая разрезающая плоскость не может открыть сразу двух граней этого внутреннего кубика, как бы ни переставляли части.

Куб и сфера

На какое наибольшее число частей могут разделить пространство поверхности куба и сфера?

Ответ: Сфера и куб могут делить пространство на части четырех типов:

- часть, находящаяся как вне сферы, так и вне куба. Одна такая часть есть всегда;

- часть, находящаяся как внутри сферы, так и внутри куба. Если такая часть есть, она одна;

- части, находящиеся вне сферы, но внутри куба. Если такие части есть, то в каждую войдет, по крайней мере, один трехгранный угол куба, т.е. их не больше. чем вершин куба (8);

- части, находящиеся вне куба, но внутри сферы. Если куб и сфера пересекаются, то в каждой такой части есть часть грани куба и их число не больше числа граней куба (6).

Итак, число частей не больше, чем 1+1+8+6 = 16. Если шар касается всех ребер куба, то частей ровно 16.

Площадь треугольника

Все высоты треугольника меньше 1. Может ли его площадь быть больше 10000 квадратных единиц?

Ответ: Может. Таким будет, например, равнобедренный треугольник, основание которого равно 80000, а высота к основанию равна 0.5.