Треугольник

Как разрезать равносторонний треугольник на пять подобных между собой треугольников? Чтобы стало интересно, введём также дополнительное условие почти равности - наибольшая сторона наименьшего из треугольников должна быть строго больше, чем наименьшая сторона наибольшего

Ответ:

Разрезание треугольника

Солнце и колодец

Солнечный луч составляет с поверхностью Земли угол 400. Под каким углом к горизонту следует расположить плоское зеркало, чтобы солнечный луч попал на дно глубокого вертикального колодца?

Ответ:

Направить луч солнца в колодец

Начертим на рисунке луч света, падающий сперва под углом 400, а потом отражённый вертикально вниз, горизонтальную поверхность, а также зеркало, которое отразило луч, и перпендикуляр к этому зеркалу.

Согласно закону отражения света (угол падения равен углу отражения) β+γ = δ.
Так как перпендикуляр с поверхностью составляет угол 900, α+β+γ = 900 .
Также по условию у нас луч отражён в вертикальном направлении, а значит γ+δ = 900.
Необходимо найти α+β.

Получилась система 3 уравнений:
β+γ = δ
α+β+γ = 900
γ+δ = 900

Отсюда получаем:
δ = 900
γ = 450-β/2
α = 450-β/2
β = 400 (из условия)
α+β = β+450-β/2 = 650

Бабушкин коврик

Бабушка Миранда славится по всему посёлку своими ковриками, которая она шьёт особым образом. Миранда берет 25 квадратных лоскутков из разной шерсти и соединяет их в квадратный коврик. В полученном коврике лоскутки из одной шерсти никогда не находятся рядом - у лоскутков даже нет общего угла. Но лоскутки заканчиваются, а сегодня надо сделать еще один коврик. Лоскутков осталось всего 4 типа, причём одного из них всего 4 штуки (остальных типов достаточно много).

Помогите бабушке расположить лоскутки так, чтобы можно было сделать еще один коврик?

Ответ:

Бабушкин коврик - ответ на задачу

Целочисленный треугольник

Существуют ли треугольники с целочисленными сторонами и целочисленными высотами? Если нет, то объясните почему, если да, то приведите пример.

Ответ: a = 15, b = 20, c = 25, ha = 20, hb = 15, hc = 12. Можно несколько упростить себе задачу, взяв изначально прямоугольный треугольник. Две из трёх высот в таком треугольнике совпадают с катетами, а следовательно, если изначально взят треугольник с целочисленными сторонами, то и две высоты у него будут целочисленные. Третья высота в прямоугольнике опущена на гипотенузу.

Начнём с "Египетского треугольника" - катеты в нем равны 3, 4 и 5. Две высоты равны 3 и 4, третья высота вычисляется по формуле h = 2S/a, где S - площадь треугольника, равная 3 × 4 × 1/2 = 6, а - длина стороны, на которую опущена высота, т.е. 5. Таким образом h = 2,4.

Однако, высоту можно сделать целочисленной, умножив все размеры на 5. Тогда стороны в треугольнике будут 15, 20 и 25, а высота на гипотенузу - 12.

Есть еще пример такого треугольника "посложнее": a = 975, b = 8125, c = 8450, ha = 7800, hb = 936, hc = 900

10 точек

Соедините 10 точек пятью линиями так, чтобы на каждой линии лежало ровно 4 точки

Ответ: Достаточно расположить пять линий в виде звезды:

10 точек