Старая тетя Мотя

В воскресенье к нам должна прийти пообедать тетя Мотя. Моя жена отправилась куда-то на машине. Захотела она просто проехаться или отправилась за тетей Мотей, которая не может добраться к нам без посторонней помощи,— об этом я абсолютно ничего не знаю. Разумеется, я мог бы на второй машине сам отправится за нашей старой тетушкой, которая живет в 10 км от нас, но мне не хочется гонять машину понапрасну. Конечно, я мог бы позвонить тете по телефону и поехать за ней только в том случае, если она не уехала с моей женой и находится дома. Но, к сожалению, тетушка очень плохо слышит, и я заметил, что в среднем два раза из пяти она не берет трубку, даже когда находится дома. Однако втрое хуже совсем не заехать за тетей Мотей, чем заехать за ней понапрасну…

Итак, я могу поступить тремя способами:
1) не ездить за тетей Мотей;
2) поехать за ней;
3) позвонить ей по телефону и поехать за ней только в том случае, если она ответит.

А как бы вы поступили на моем месте?

Ответ: Пусть а — мера неудобства, связанная с ненужной поездкой за тетушкой; тогда огорчение от того, что тетушку на обед не привезут, оценивается величиной За.

Первая из перечисленных «стратегий» связана с риском неудачи величиной За, которая имеет вероятность 1/2 (поскольку я совершенно не представляю себе, поехала ли жена за тетушкой или нет); при этом средняя величина неудачи оценивается как За/2.

Вторая стратегия чревата неудачей а с той же вероятностью 1/2; среднее значение неудачи здесь оценивается числом а/2.

Наконец, третья стратегия может привести к неудаче За, которую, однако, я могу потерпеть лишь в том случае, если жена поехала не за тетушкой, а просто прогуляться (вероятность этого 1/2) и, кроме того, если тетушка, будучи дома, не услышит мой телефонный звонок (вероятность 2/5). Среднее составит здесь За* 1/2 * 2/5=За/5. Значит, при третьей стратегии риск оказывается чуть больше, чем при второй, которая, таким образом, является наилучшей. Другими словами, мне следует ехать за тетей.

Случайный ответ

Если Вы выберете ответ на этот вопрос случайным образом из приведенных ниже четырех вариантов, то какова вероятность того, что Вы выберете правильный ответ?
a) 25%
b) 50%
c) 66,67%
d) 25%

Ответ: Вероятность выбрать правильный ответ равна 0.

Всего вариантов четыре.
Ответов "25%" - два, поэтому вероятность случайно выбрать ответ "25%" равна 2/4 = 50%.
Ответ "50%" - один, поэтому вероятность случайно выбрать ответ "50%" равна 1/4 = 25%.
Ответ "66,67%" - один, поэтому вероятность случайно выбрать ответ "66,67%" равна 1/4 = 25%.
Ни в одном из случаев вероятность выбрать ответ не совпадает с самим ответом, т.е. на самом деле правильных ответов среди предложенных вариантов нет. Правильный ответ на вопрос задачи - 0%, но его нет в списке вариантов (именно поэтому вероятность и равна нулю).

40 прохожих

Опрашивают 40 наугад выбранных прохожих. Если среди опрошенных найдутся хотя бы двое, празднующие свой день рождения в один и тот же день года, вы проигрываете. Если все дни рождения различны — выигрыш ваш.

Приняли бы вы участие в подобном пари, особенно, если ставка достаточно высока?

Ответ: Задачу можно переформулировать следующим образом: какова вероятность того, что сорок наугад выбранных чисел от 1 до 365 окажутся попарно различными?

Количество последовательностей из 40 выбранных наугад чисел от 1 до 365, среди которых нет одинаковых, равно произведению 365 × 364 × ... × 327 × 326: на первом месте может находиться любое из 365 чисел, на втором — любое из оставшихся 364, на третьем — любое из оставшихся 363, и так далее.

Всего же произвольных последовательностей из 40 выбранных наугад чисел от 1 до 365 (среди которых могут быть и одинаковые) ровно 36540: на любом месте из сорока может стоять любое из чисел от 1 до 365.

Значит, искомая вероятность равна

365 × 364 × ... × 327 × 326 / 36540,

что чуть меньше 0,1. Таким образом, вероятность выигрыша в таком пари для вас составит чуть меньше, чем 1 к 9.

Листы, конверты, два стола

На двух столах (X и Y) лежат запечатанные конверты. Внутри каждого конверта находится один лист цветной (жёлтой или красной) бумаги, сложенный вчетверо. На столе X лежат 6 конвертов, в пяти из которых находятся жёлтые листы, а в одном – красный. А на столе Y лежат 4 конверта: в одном – жёлтый лист, в остальных трёх – красные.

Вскоре кто-то берёт с каждого стола по 3 конверта наугад (не зная, какого цвета листы внутри) и меняет их местами, т.е. те конверты, которые лежали на столе X, теперь лежат на столе Y, и наоборот. Причём их количество на каждом из столов не изменилось: 6 и 4 соответственно.

Какова вероятность того, что теперь на столе Y лежат 2 конверта с жёлтым листом и 2 – с красным?

P.S. Задача предоставлена пользователем Artem of 93, которому отдельное спасибо за толковые комментарии к задачам

Ответ: Если внимательно разобраться в данной ситуации, то можно заметить, что в «тройке» конвертов, взятой наугад со стола X, могут оказаться либо три конверта с жёлтым листом, либо два конверта с жёлтым листом и один - с красным. Аналогично, со стола Y могут быть случайно выбраны либо три конверта с красным листом, либо два - с красным листом и один - с жёлтым. Перебрав все возможные варианты, можно прийти к выводу, что для того чтобы после указанного в условии случайного обмена конвертами, на столе Y оказались 2 конверта с жёлтым листом и 2 – с красным, необходимо, чтобы одновременно выполнялись 2 условия:

1) В «тройке», которая была выбрана наугад из 6 конвертов со стола X, был бы один конверт с красным листом, а в остальных двух лежали бы жёлтые листы.
Единственный другой возможный вариант, при котором все три конверта, взятые наугад со стола X, содержали бы жёлтые листы, нас не устраивает: очевидно, что в этом случае после обмена конвертами на столе Y окажутся как минимум 3 конверта с жёлтым листом, а не 2, независимо от того, какая «тройка» будет выбрана со стола Y.

2) В «тройке», которая была выбрана наугад из 4 конвертов со стола Y, был бы один конверт с жёлтым листом, а в остальных двух лежали бы красные листы.
Единственный другой возможный вариант, при котором все три конверта, взятые наугад со стола Y, содержали бы красные листы, нас опять-таки не устраивает: в таком случае после обмена конвертами на столе Y вновь окажутся как минимум 3 конверта с жёлтым листом, а не 2, независимо от того, какая «тройка» будет выбрана со стола X.
Ведь если все три конверта, выбранные со стола Y, содержат красные листы, это значит, что на этом столе лежит один конверт с жёлтым листом, и к нему добавится «тройка» конвертов со стола X, в которой либо 2, либо 3 конверта с жёлтым листом.

Следовательно, для того чтобы найти вероятность того, что после указанного случайного обмена конвертами на столе Y будут лежать по 2 конверта с жёлтым и красным листами, необходимо найти вероятности каждого из двух вышеуказанных событий и перемножить их значения.

Сначала найдём вероятность события (1).
Выпишем все возможные «тройки», выбранные случайно со стола X, обозначив «жёлтые» конверты как A1, A2, A3, A4, A5, а «красный» – BB:

(A1, A2, A3) (A1, A3, A5) (A2, A3, A4) (A2, A5, BB)
(A1, A2, A4) (A1, A3, BB) (A2, A3, A5) (A3, A4, A5)
(A1, A2, A5) (A1, A4, A5) (A2, A3, BB) (A3, A4, BB)
(A1, A2, BB) (A1, A4, BB) (A2, A4, A5) (A3, A5, BB)
(A1, A3, A4) (A1, A5, BB) (A2, A4, BB) (A4, A5, BB)

Всего получим 20 «троек», 10 из которых содержат BB (конверт с красным листом).
Значит, вероятность события (1) равна:
P(X)=10/20=0,5=50%
Аналогично найдём вероятность события (2).
Выпишем все возможные «тройки», выбранные случайно со стола Y, обозначив конверты с красным листом как B1, B2, B3, а конверт с жёлтым листом – AA:

(B1, B2, B3)
(B1, B2, AA)
(B1, B3, AA)
(B2, B3, AA)

Всего получим 4 «тройки», 3 из которых содержат AA (конверт с жёлтым листом).
Значит, вероятность события (2) равна:
P(Y)=3/4=0,75=75%
Значит, искомая вероятность равна:
P = 0,5*0,75 = 0,375 = 3/8 = 37,5%
Ответ: 37,5%