Сахар в пакетах

Имеется два пакета, один пустой, а в другом 9 кг сахара. Как за 3 взвешивания на чашечных весах с использованием гирек на 50г и 200г распределить сахар по пакетам в пропорции: 2кг в одном пакете и 7кг в другом?

Решение

1. Необходимо развесить сахар по мешкам на 2 равные части по 4,5кг.

2. Сахар в одном пакете снова разделить пополам по 2,25кг и рассыпать по пакетам (в одном пакете будет 2,25кг , а в другом 6,75кг).

3. При помощи двух гирек в сумме на 250г отделить 250г сахара от пакета с 2,25кг и переложить в другой пакет. В итоге в одном пакете будет 7кг, в другом 2кг сахара

4 монеты

Имеется 4 монеты, из которых одна фальшивая и она отличается от подлинных по весу или в большую или в меньшую сторону. Как определить фальшивую монету при 2 взвешиваниях на чашечных весах?

Решение

Положим на весы 1 и 2 монету: 1)если они не уравновешиваются, то снимаем вторую и положим на ее место третью. Если весы будут в равновесии, то монета 2 фальшивая. Если весы не уравновесятся, то монета 1 фальшивая. 2)весы уравновесились, тогда снимаем монету 2 и на ее место положим монету 3. Если весы уравновесятся, то фальшивая монета 4. Если весы не уравновесятся, то фальшивая монета 3.

Две гири

Имеются стандартные весы с чашечками и две гири: 10 и 2 кг. Как с их помощью взвесить 3 кг слив?

Решение

Изначально взвешиваем 2 кг слив. Затем делим их поровну по чашам весов, чтобы весы уравновесились. 1 кг слив получен. Имя 1кг и гирю в 2 кг можно отмерить любое нужное количество, в том числе и 3 кг.

68 монет

Есть 68 монет, все они разные по весу. Как за 100 взвешиваний найти самую легкую и самую тяжелую?

Решение

Взвешиваем попарно все монеты, легкие откладываем в одну кучку, тяжелые - в другую, всего получается 34 взвешивания. В первой кучке взвешиваем по очереди все монеты с наиболее легкой на данный момент, т.е. если попадается более легкая, то следующие монеты взвешиваются уже с ней, и так 33 раза. С правой кучкой - то же самое, но только выявляем наиболее тяжелую монету, также 33 взвешивания. Итого - ровно 100 взвешиваний.

Испорченные весы

Среди 100 одинаковых на вид монет есть несколько фальшивых. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие – тоже, фальшивая монета легче настоящей. Имеются также весы (с двумя чашами без стрелки), на каждой чашке умещается только по одной монете. При этом весы слегка испорчены: если монеты разного веса, перевешивает более тяжёлая монета, а если одинакового – перевесить может любая чашка. Как с помощью этих весов найти хотя бы одну фальшивую монету?

Решение

Разделим монетки на 33 кучки по 3 монетки + 1 монетка.

Каждое трио взвешиваем между собой, получим 3 неравенства, в результате которых увидим, либо каждая монетка будет по одному разу весить меньше от других двух, либо два раза будет весить меньше других двух.

1>2 (возможны такие варианты: н=н, ф=ф, 2-фальшивка)

1<3 (н=н, ф=ф, 1- фальшивка)

2>3 (н=н, ф=ф, 3- фальшивка)

такое возможно, если все три монетки имеют одинаковый вес вежду собой, то есть из них откладываем в сторонку любую одну

1<2(н=н,ф=ф,1-ф)

1<3(н=н,ф=ф,1-ф)

2>3(н=н,ф=ф,3-ф)

У 1 больше вероятность оказаться фальшивой, так что ее и откладываем.

И так проделываем с каждой из 33-х кучек, в результате отложим 11 монет +1, которая не попала ни в одну из кучек.

Эти 12 монет опять разделяем на 4 кучки по 3 монетки, проделываем те же манипуляции, в результате получим 4 монетки, разделяем на 1 кучку+1, та монетка из кучки, которая окажется легче, вновь откладываем и сравниваем с одинокой монеткой. Та, которая легче и будет фальшивой.


80 монет

Имеется 80 монет, одна из которых фальшивая, причем она легче других. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно найти фальшивую монету?

Решение

Фальшивую монету можно определить за 4 взвешивания. Алгоритм следующий. Первое взвешивание: кладем на чаши по 27 монет. В случае равновесия фальшивая среди оставшихся 26. Если одна чаша легче, то фальшивая среди лежащих на ней 27. Второе взвешивание: кладем на обе чаши по 9 монет из числа "подозреваемых" и рассуждаем аналогично. В третьем взвешивании положим на чаши по 3 монеты, а в четвертом - по одной. Как видим, здесь деление не пополам, а на три по возможности равные части.

Мудрец

Когда за доброе дело правитель страны решил наградить умного человека, тот пожелал взять столько золота, сколько весит слон. Но как же взвесить слона? В те времена не было таких весов. Что бы в подобной ситуации смогли придумать вы?

Решение

Мудрец сделал так: он поместил слона в лодку, затем отметил по борту уровень воды. Когда слона вывели из лодки, осталось только поместить туда золото.

Пять предметов

Пять различных по весу предметов требуется расположить в порядке убывания их веса. Пользоваться можно только простейшими весами без гирь, которые позволяют лишь установить, какой из двух сравниваемых по весу предметов тяжелее. Как следует действовать, чтобы решить задачу оптимальным образом, то есть так, чтобы число взвешиваний было минимальным? Сколько взвешиваний придется при этом произвести?

Решение

Первым взвешиванием сравним любые два из пяти данных предметов. Пусть A - более легкий, а B - более тяжелый предмет. Тогда результат первого взвешивания запишем в виде A<B (читается: «A легче В»).

Затем сравним два других предмета и обозначим более легкий D а более тяжелый - E: D<E.

Пятый предмет обозначим C.

Третьим взвешиванием сравним предметы B и E. Обе возникающие здесь возможности приводят к аналогичным рассуждениям, поэтому мы ограничимся рассмотрением случая B<E. В итоге после трех взвешиваний мы знаем, что A<B<E и D<E.

Четвертым взвешиванием сравним пятый предмет C с предметом B. Необходимо различать два случая:

а) B<C;

б) C<B.

В первом случае (B<C)

A<B<E, D<E и B<C.

Сравним (для этого понадобится пятое взвешивание) предметы C и E. Здесь также необходимо различать два возможных случая: E<C или C<E.

Если A<B<E<C, то место предмета D, более легкого, чем E, можно определить, сравнив A с D и B с D. Таким образом, для полного упорядочения пяти предметов по весу в этом случае необходимо произвести 7 взвешиваний.

В случае A<B<C<E для определения места D также достаточно произвести два взвешивания, а именно: сначала сравнить D с B, а затем в зависимости от результата взвешивания сравнить D либо с A либо с C. В итоге мы снова производим 7 взвешиваний.

Во втором случае (C<B)

A<B<E, C<B и D<E.

Сравним предметы A и C (пятое взвешивание). В обоих возможных случаях (A<C<B или C<A<B<E) для определения места предмета D, о котором уже известно, что он легче предмета E, достаточно двух взвешиваний. Следовательно, и в случае, когда C<B, семи взвешиваний достаточно, чтобы расположить предметы в порядке возрастания их веса.

Поскольку мы исчерпали все возможные случаи, то доказательство на этом заканчивается.